Celdillas Unidad: Índices y Direcciones

Posiciones atómicas en celdillas unidad cubica 

Para localizar las posiciones atómicas en las celdillas unitarias cúbicas vamos a usar un sistema x, y, z. En cristalografía, el eje positivo x es normalmente la dirección hacia fuera del papel, el eje positivo y es la dirección hacia la derecha del papel, y el eje positivo z es la dirección hacia arriba. Las direcciones negativas son las opuestas a las que acaban de describirse. Las posiciones atómicas se localizan usando distancias unitarias a lo largo de los ejes x, y, z.

Por ejemplo, la posición en coordenadas para los átomos en la celdilla unidad BCC se muestra en la imagen las posiciones atómicas para los ocho átomos situados en los vértices de la celdilla unidad BCC son:

(0, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1) (1, 1, 1) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1) 

Direcciones en Celdilla Unidad Cubica

Para cristales cúbicos los índices de direcciones cristalográficas son los componentes vectoriales de las direcciones resueltas a lo largo de cada eje de coordenadas a los enteros más pequeños.

Para indicar en un diagrama una dirección en una celdilla unidad cúbica dibujaremos un vector de dirección desde el origen (que es normalmente un vértice de la celdilla cúbica) hasta que salga a la superficie del cubo. Las coordenadas de posición de la celdilla unidad donde el vector de dirección sale a la superficie del cubo después de ser convertidas a enteros son los índices de dirección. Los índices de dirección se encierran entre corchetes sin separación por comas. 

Indices de Miller para planos cristalográficos en Celdilla Unidad Cubica  

En estructuras cristalinas cúbicas se utilizan el sistema de notación de Miller para identificar los planos cristalinos. Los índices de Miller de un plano cristalino se definen como los recíprocos de las intersecciones fraccionales de los planos hechos con los tres ejes cristalográficos x, y, z y las tres aristas no paralelas de la celdilla unidad cúbica.

Las aristas del cubo de una celdilla unidad representan longitudes unidad, y las intersecciones de los planos reticulares se miden en base a estas longitudes unidad. El procedimiento para determinar los índices de Miller para un plano de un cristal cúbico es el siguiente:

1. Se elije un plano que no pase por el origen en (0, 0.0).
2. Se determina las intersecciones del plano con los tres ejes cristalográficos x, y, z para un cubo unidad. Estas intersecciones pueden ser fracciones.
3. Se obtienen los recíprocos de estas intersecciones.
4. Se eliminan fracciones y se determina el conjunto más pequeño de números enteros que estén entre sí en la misma relación que las intersecciones. Estos números enteros son los índices de Miller de un plano cristalográfico y se encierran entre paréntesis sin usar comas. Se utiliza la notación (hkl) para indicar índices de Miller en un sentido general, donde h, k y l son los índices de Miller de un plano de un cristal cúbico para los ejes x, y, y z, respectivamente.

Planos cristalográficos y direcciones en Celdilla Unidad Hexagonal 

Los planos cristalinos en celdillas unidad HCP se identifican generalmente utilizando cuatro índices en vez de tres. Los índices pan los planos cristalinos HCP, llamados índices Miller-Bravais, se designan por las letras h, k, i y l, y se encierran entre paréntesis: (hkil). Estos índices hexagonales de cuatro dígitos se basan en un sistema de coordenadas de cuatro ejes en una celdilla unidad HCP. Hay tres ejes fundamentales, a1, a2 y a3, que forman ángulos de 120° entre si. El cuarto eje o eje c es el eje vertical localizado en el centro de la celdilla unidad. La unidad de medida a lo largo de los ejes a1, a2 y a3, es la distancia entre los átomos a lo largo de estos ejes. La unidad de medida a lo largo del eje c es la altura de la celdilla unidad. Los recíprocos de las intersecciones que un plano determina con los ejes a1, a2 y a3 dan los índices h, k e i, mientras que el recíproco de la intersección con el eje c da el índice l.

Las direcciones en las celdillas unidad HCP se indican tambien generalmente por cuatro indices u, v, t y w encerrados entre corchetes como [uvtw]. Los indices u, v, t  son vectores reticulates en  las direcciones a1, a2 y a3, respectivamente, y el Indice w es un vector reticular en la direccion c.